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- FIN DU TOME XV DE LA NEUVIÈME SÉRIE.
- SOMMAIRE DU FASCICULE N° 5
SINGULARITÉS DE CERTAINES FONCTIONS HOLOMORPHES. 423
Sur les singularités de certaines fonctions holomorplies
et de leurs inverses;
PAR GEORGES VALIROIN.
1. Dans son Mémoire Sur les équations fonctionnelles, P. Fatou a
étudié d'une façon approfondie la fonction de Kœnigs des substitu-
tions à cercle fondamental invariant, z | < i, et a montré que, dans
le cas des substitutions de première espèce ayant un point double de
multiplicateur non nul au centre du cercle, cette fonction K (z), holo-
morplie dans ce cercle, est d'ordre fini (au sens d'Hadamard) sur la
circonférence, et tend vers l'infini lorsque 1 z tend vers i à l'extérieur
de petites régions entourant les zéros ('). D'une façon précise, si grand
que soit A, les points en lesquels | Iv(z) 1 > A forment un domaine de
connexion infinie A(A) que l'on obtient en supprimant d'un domaine
de forme coronale limité par 1 z 1 < i et par une courbe intérieure des
domaines en nombre infini limités par des courbes sans points communs
avec 1 z 1 = i, la somme des longueurs de ces courbes tendant vers
zéro avec.- A (A) contient, en outre, des lignes fermées F de longueur
bornée entourant l'origine, sur lesquelles z > a, si proche que a soit
de i. La dérivée de K(Z) jouit de propriétés analogues et, tout au
moins dans certains cas, K (s) 1 + 1 Kr (z) tend vers l'infini lorsque z
tend vers 1 (2), ce qui établit directement que w = 00 qui est le seul
point critique transcendant de la surface de Riemann décrite par
(1) Bull. Soc. math., 58, 1920, p. 262-273.
(2) Voir les pages 63-6^ du Mémoire de H. CARTAN, Bull. Sciences math.,
55, 1931.
Sur les singularités de certaines fonctions holomorplies
et de leurs inverses;
PAR GEORGES VALIROIN.
1. Dans son Mémoire Sur les équations fonctionnelles, P. Fatou a
étudié d'une façon approfondie la fonction de Kœnigs des substitu-
tions à cercle fondamental invariant, z | < i, et a montré que, dans
le cas des substitutions de première espèce ayant un point double de
multiplicateur non nul au centre du cercle, cette fonction K (z), holo-
morplie dans ce cercle, est d'ordre fini (au sens d'Hadamard) sur la
circonférence, et tend vers l'infini lorsque 1 z tend vers i à l'extérieur
de petites régions entourant les zéros ('). D'une façon précise, si grand
que soit A, les points en lesquels | Iv(z) 1 > A forment un domaine de
connexion infinie A(A) que l'on obtient en supprimant d'un domaine
de forme coronale limité par 1 z 1 < i et par une courbe intérieure des
domaines en nombre infini limités par des courbes sans points communs
avec 1 z 1 = i, la somme des longueurs de ces courbes tendant vers
zéro avec.- A (A) contient, en outre, des lignes fermées F de longueur
bornée entourant l'origine, sur lesquelles z > a, si proche que a soit
de i. La dérivée de K(Z) jouit de propriétés analogues et, tout au
moins dans certains cas, K (s) 1 + 1 Kr (z) tend vers l'infini lorsque z
tend vers 1 (2), ce qui établit directement que w = 00 qui est le seul
point critique transcendant de la surface de Riemann décrite par
(1) Bull. Soc. math., 58, 1920, p. 262-273.
(2) Voir les pages 63-6^ du Mémoire de H. CARTAN, Bull. Sciences math.,
55, 1931.
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