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- FIN DU TOME XV DE LA NEUVIÈME SÉRIE.
- SOMMAIRE DU FASCICULE N° 5
GÉNÉRALISATION DE LA THÉORIE DU CORPS DE CLASSES. 35t)
Généralisation de La théorie du corps de classes
pour les extensions infinies ;
PAR C. CHEVALLEY.
Introduction.
k étant un corps de nombres algébriques de degré fini, la théorie du
corps de classes associe à toute extension abélienne finie Z de k un
groupe composé d'idéaux de k qui la caractérise complètement.
On peut aussi se demander s'il est possible de caractériser, au
moyen d'éléments constructibles dans k, les extensions abéliennes
infinies de k. Si l'on remarque que le groupe associé au corps composé
de deux extensions finies Z', Z" de k est l'intersection des groupes
associés à ces deux corps, il vient à l'idée de chercher à associer à une
extension infinie Z l'intersection des groupes associés dans k aux
extensions finies Z' de k contenues dans Z. Mais on s'aperçoit rapide-
ment que le groupe d'idéaux ainsi construit ne caractérise nullement Z ;
si par exemple k est le corps des nombres rationnels, et si Z est le corps
engendré par toutes les racines de l'unité dont les ordres sont des
puissances d'un même nombre premier p, le groupe que l'on cons-
truirait ainsi se compose du seul élément unité.
Dans le présent Mémoire, il est montré que l'on peut caractériser
les extensions abéliennes, finies ou infinies, de k par des groupes dont
les éléments sont non plus des idéaux, mais des objets d'une nature
différente, les éléments-idéaux, définis au paragraphe I.
La famille de tous les groupes d'éléments idéaux associés à des
extensions abéliennes de k peut être caractérisée dans k, et ceci au
Généralisation de La théorie du corps de classes
pour les extensions infinies ;
PAR C. CHEVALLEY.
Introduction.
k étant un corps de nombres algébriques de degré fini, la théorie du
corps de classes associe à toute extension abélienne finie Z de k un
groupe composé d'idéaux de k qui la caractérise complètement.
On peut aussi se demander s'il est possible de caractériser, au
moyen d'éléments constructibles dans k, les extensions abéliennes
infinies de k. Si l'on remarque que le groupe associé au corps composé
de deux extensions finies Z', Z" de k est l'intersection des groupes
associés à ces deux corps, il vient à l'idée de chercher à associer à une
extension infinie Z l'intersection des groupes associés dans k aux
extensions finies Z' de k contenues dans Z. Mais on s'aperçoit rapide-
ment que le groupe d'idéaux ainsi construit ne caractérise nullement Z ;
si par exemple k est le corps des nombres rationnels, et si Z est le corps
engendré par toutes les racines de l'unité dont les ordres sont des
puissances d'un même nombre premier p, le groupe que l'on cons-
truirait ainsi se compose du seul élément unité.
Dans le présent Mémoire, il est montré que l'on peut caractériser
les extensions abéliennes, finies ou infinies, de k par des groupes dont
les éléments sont non plus des idéaux, mais des objets d'une nature
différente, les éléments-idéaux, définis au paragraphe I.
La famille de tous les groupes d'éléments idéaux associés à des
extensions abéliennes de k peut être caractérisée dans k, et ceci au
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