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- FIN DU TOME XV DE LA NEUVIÈME SÉRIE.
- SOMMAIRE DU FASCICULE N° 5
SINGULARITÉS DE CERTAINES INTEGRALES. 207
Sur les singularités de certaines intégrales ;
PAR M. ÉMILE COTTON,
Professeur à la Faculté des Sciences de Grenoble.
Les intégrales considérées ici portent sur une fonction variables d'intégration et des paramètres qui devient infinie ou indé-
terminée en un point 0 du domaine d'intégration, lorsque les para-
mètres sont tous nuls. On veut étudier une telle intégrale considérée
comme fonction des paramètres, ceux-ci étant voisins de zéro.
De tels paramètres se posent dans la théorie du potentiel, et les
résultats indiqués ici généralisent quelques-uns de ceux donnés par
Poincaré dans les paragraphes 4 et 5 de son Mémoire Sur les propriétés
du potentiel. (Acta mathematica, t. 22, 1898). La fonction ϕ est de
la forme :J.' a est une constante positive F et G sont fonctions holo-
morphes des diverses variables; F est positive et a un minimum nul
en 0 quand les paramètres sont tous nuls; ce minimum est reconnais-
sable aux termes du second ordre du développement de Taylor.
En utilisant le théorème de factorisation et un lemme de M. Goursat,
on obtient tout d'abord diverses propositions importantes pour la
suite : transformation de petits (nos 2 et 3).
Considérant ensuite une intégrale simple, on montre (n° 4) qu'elle
est la somme d'une partie critique dont l'expression en fonction des
paramètres est de rnême nature ~; que , et d'une partie continue KI;
dans certains cas elle peut contenir aussi un terme logarithmique. Mais
Sur les singularités de certaines intégrales ;
PAR M. ÉMILE COTTON,
Professeur à la Faculté des Sciences de Grenoble.
Les intégrales considérées ici portent sur une fonction
terminée en un point 0 du domaine d'intégration, lorsque les para-
mètres sont tous nuls. On veut étudier une telle intégrale considérée
comme fonction des paramètres, ceux-ci étant voisins de zéro.
De tels paramètres se posent dans la théorie du potentiel, et les
résultats indiqués ici généralisent quelques-uns de ceux donnés par
Poincaré dans les paragraphes 4 et 5 de son Mémoire Sur les propriétés
du potentiel. (Acta mathematica, t. 22, 1898). La fonction ϕ est de
la forme :J.' a est une constante positive F et G sont fonctions holo-
morphes des diverses variables; F est positive et a un minimum nul
en 0 quand les paramètres sont tous nuls; ce minimum est reconnais-
sable aux termes du second ordre du développement de Taylor.
En utilisant le théorème de factorisation et un lemme de M. Goursat,
on obtient tout d'abord diverses propositions importantes pour la
suite : transformation de petits (nos 2 et 3).
Considérant ensuite une intégrale simple, on montre (n° 4) qu'elle
est la somme d'une partie critique dont l'expression en fonction des
paramètres est de rnême nature ~; que , et d'une partie continue KI;
dans certains cas elle peut contenir aussi un terme logarithmique. Mais
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