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- FIN DU TOME XV DE LA NEUVIÈME SÉRIE.
- SOMMAIRE DU FASCICULE N° 5
TYPE D'ÉQUATIONS A INTÉGRALES PRINCIPALES. 193
Sur un type d'équations à intégrales principales;
PAR GEORGES GIRAUD.
INTRODUCTION.
Dans certaines questions se sont rencontrées des équations intégrales
d'un type qui sera défini dans le présent travail. Indiquons seulement
ici que ces équations ressemblent, au premier abord, à des équations
de Fredholm ; mais l'intégrale, qui figure dans une équation de
Fredholm, est remplacée par une limite d'intégrale, étendue à un
champ dont on exclut une certaine région infiniment petite. C'est
qu'en effet le noyau de ces équations n'est pas sommable : si l'on exclut
du champ d'intégration, qui est une variété close à m dimensions, une
région qui contient à son intérieur le point par rapport auquel on
n'intègre pas, le noyau est borné et intégrable dans la région restante
et, en choisissant convenablement la région exclue, qu'on fait tendre
vers zéro dans toutes ses dimensions, on parvient, pour ces intégrales,
à une limite bien déterminée, qu'on nomme la valeur principale de
l'intégrale considérée, ou encore Vintégrale principale. Or il a été
établi que les trois théorèmes fondamentaux de Fredholm s'étendent
à ces équations à intégrales principales, pourvu que le paramètre À,
qui figure devant l'intégrale, ne reçoive aucune valeur située sur
certaines coupures parfaitement définies, tracées dans le plan com-
plexe ('); ces coupures sont portées par l'axe purement imaginaire,
(') Equations à intégrales principales, étude suivie d'une application
(Ann. scient. Éc. Norm. sup., t. 51, 1934, p. 251-372), spécialement III, § 6
à § 8; ce travail sera désigné, dans les citations, par la lettre i. Équations à
intégrales principales d'ordre quelconque (non encore paru), spécialement III ;
ce travail sera désigné par j. La méthode suivie dans ce second article est
Journ. de Jlalh., tome XV. — Fasc. II, ic)3C. 25
Sur un type d'équations à intégrales principales;
PAR GEORGES GIRAUD.
INTRODUCTION.
Dans certaines questions se sont rencontrées des équations intégrales
d'un type qui sera défini dans le présent travail. Indiquons seulement
ici que ces équations ressemblent, au premier abord, à des équations
de Fredholm ; mais l'intégrale, qui figure dans une équation de
Fredholm, est remplacée par une limite d'intégrale, étendue à un
champ dont on exclut une certaine région infiniment petite. C'est
qu'en effet le noyau de ces équations n'est pas sommable : si l'on exclut
du champ d'intégration, qui est une variété close à m dimensions, une
région qui contient à son intérieur le point par rapport auquel on
n'intègre pas, le noyau est borné et intégrable dans la région restante
et, en choisissant convenablement la région exclue, qu'on fait tendre
vers zéro dans toutes ses dimensions, on parvient, pour ces intégrales,
à une limite bien déterminée, qu'on nomme la valeur principale de
l'intégrale considérée, ou encore Vintégrale principale. Or il a été
établi que les trois théorèmes fondamentaux de Fredholm s'étendent
à ces équations à intégrales principales, pourvu que le paramètre À,
qui figure devant l'intégrale, ne reçoive aucune valeur située sur
certaines coupures parfaitement définies, tracées dans le plan com-
plexe ('); ces coupures sont portées par l'axe purement imaginaire,
(') Equations à intégrales principales, étude suivie d'une application
(Ann. scient. Éc. Norm. sup., t. 51, 1934, p. 251-372), spécialement III, § 6
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