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PURES ET APPLIQUÉES. G45
N1NNMIHyyy~.Yyy,yy'1V~M'lnIMNN W1NNNV1M11MSM11A41AMf ~M1M VN'1M VNNAN11 V411MW1
DÉMONSTRATION NOUVELLE
D'UNE
FORMULE DE M. WILLIAM THOMSON;
PAR M. J. LIOUVILLE.
M. William Thomson a donné dans un des numéros de ce Jour-
nal une formule curieuse que voici Soient Ç2, £“ des va-
riables en nombre n> i, et g, h, a{, a2, an, b,, b2, bn des
constantes réelles, les deux premières g et h positives. Désignons par Z
l'intégrale, prise- de oo à + oo pour toutes les variables, de la
formule différentielle
d\d\n
11-I-I n-I
[*•+(?,- «,)'+. + (&«“)•] 2 [ + (Ç, -)• + H- (&)»] »
En posant t I .Jt
c – (a, – b,)*+ + (an-bny,
on aura
n -I- I
7_^ZL i
~r r7~±~'–––––i' t
2 ) [c + (g + />y] 2
le signe T désignant à l'ordinaire l'intégrale eulérienne de seconde
espèce.
M. W. Thomson donne de cette formule deux démonstrations fort
élégantes. La démonstration nouvelle que je vais exposer paraît plus
simple encore elle repose d'ailleurs sur des principes complétement
différents.
D'abord si l'on remplace par deux exposants positifs quelconques
p, q les exposants et ^– qui figurent dans l'élément de l'in-
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N1NNMIHyyy~.Yyy,yy'1V~M'lnIMNN W1NNNV1M11MSM11A41AMf ~M1M VN'1M VNNAN11 V411MW1
DÉMONSTRATION NOUVELLE
D'UNE
FORMULE DE M. WILLIAM THOMSON;
PAR M. J. LIOUVILLE.
M. William Thomson a donné dans un des numéros de ce Jour-
nal une formule curieuse que voici Soient Ç2, £“ des va-
riables en nombre n> i, et g, h, a{, a2, an, b,, b2, bn des
constantes réelles, les deux premières g et h positives. Désignons par Z
l'intégrale, prise- de oo à + oo pour toutes les variables, de la
formule différentielle
d\d\n
11-I-I n-I
[*•+(?,- «,)'+. + (&«“)•] 2 [ + (Ç, -)• + H- (&)»] »
En posant t I .Jt
c – (a, – b,)*+ + (an-bny,
on aura
n -I- I
7_^ZL i
~r r7~±~'–––––i' t
2 ) [c + (g + />y] 2
le signe T désignant à l'ordinaire l'intégrale eulérienne de seconde
espèce.
M. W. Thomson donne de cette formule deux démonstrations fort
élégantes. La démonstration nouvelle que je vais exposer paraît plus
simple encore elle repose d'ailleurs sur des principes complétement
différents.
D'abord si l'on remplace par deux exposants positifs quelconques
p, q les exposants et ^– qui figurent dans l'élément de l'in-
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