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- TABLE DES MATIERES. SEPTIEME SERIE. - TOME II. Les indications qui précèdent le titre de chaque Mémoire de cette Table sont celles adoptées par le Congrès international de Bibliographie des Sciences mathématiques en 1889. (Note de la Rédaction.)
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FIN DU TOME II DE LA SEPTIEME SERIE.
REMARQUES SUR CERTAINES SUITES ~APPROXIMATION.
i55
/!c/?M~Me.y sur certaines suites d'approximation;
PAR G. HUMBERT (').
1. But du travail. Soient M une irrationnelle positive et v un
nombre donné, au moins égal à 2 nous dirons qu'une fraction irré-
ductible, p q, est, pour (t), une fraction (~) si l'on a
On sait, puisque v 2, que toute fraction (v) est une réduite ordinaire
de w; on trouvera donc les fractions (v) en supprimant, dans la
suite, So, des réduites successives, celles, p. q, qui ne satisfont pas
à (ï) il restera alors une suite, que nous appellerons S. et qui
contiendra toutes les fractions (v), rangées dans l'ordre des déno-
minateurs croissants. Mais rien ne prouve que S~, existe, ni, surtout,
que Sv soit une suite infinie.
M. Hurwitz a établi (~), et le résultat est aujourd'hui classique,
que Sv existe toujours, et est infinie, pour v = ~/5 quelle que soit la
simplicité de la démonstration de M. Hurwitz, on peut donner, de
son théorème, une démonstration plus simple encore, et c'est là le
premier objet du présent travail.
M. Hurwitz a montré ensuite (/~o~.), en s'appuyant sur une
belle proposition de M. Markoff, que, si l'on excepte l'irrationnelle
ct==(i -+-5) 2, et celles qui équivalent modulairement à x ou à–M,
la suite répondant à v = \/8 est une suite infinie pour toute irration-
(~) Nous renverrons aux deux Mémoires qui précèdent par les chiffres 1 et II.
(') Math. Ann., t. XXXIX, 1891, p. 279.
Journ. de Math. (~' série), tome II. Fasc. 111. 1916. 21
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/!c/?M~Me.y sur certaines suites d'approximation;
PAR G. HUMBERT (').
1. But du travail. Soient M une irrationnelle positive et v un
nombre donné, au moins égal à 2 nous dirons qu'une fraction irré-
ductible, p q, est, pour (t), une fraction (~) si l'on a
On sait, puisque v 2, que toute fraction (v) est une réduite ordinaire
de w; on trouvera donc les fractions (v) en supprimant, dans la
suite, So, des réduites successives, celles, p. q, qui ne satisfont pas
à (ï) il restera alors une suite, que nous appellerons S. et qui
contiendra toutes les fractions (v), rangées dans l'ordre des déno-
minateurs croissants. Mais rien ne prouve que S~, existe, ni, surtout,
que Sv soit une suite infinie.
M. Hurwitz a établi (~), et le résultat est aujourd'hui classique,
que Sv existe toujours, et est infinie, pour v = ~/5 quelle que soit la
simplicité de la démonstration de M. Hurwitz, on peut donner, de
son théorème, une démonstration plus simple encore, et c'est là le
premier objet du présent travail.
M. Hurwitz a montré ensuite (/~o~.), en s'appuyant sur une
belle proposition de M. Markoff, que, si l'on excepte l'irrationnelle
ct==(i -+-5) 2, et celles qui équivalent modulairement à x ou à–M,
la suite répondant à v = \/8 est une suite infinie pour toute irration-
(~) Nous renverrons aux deux Mémoires qui précèdent par les chiffres 1 et II.
(') Math. Ann., t. XXXIX, 1891, p. 279.
Journ. de Math. (~' série), tome II. Fasc. 111. 1916. 21
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